Bilangan Biner


Sebagai contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:

157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)

Perhatikan! bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dst.

Mengenal Konsep Bilangan Biner dan Desimal
Perbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!

Untuk Desimal:
14(10) = (1 x 101) + (4 x 100)
= 10 + 4
= 14

Untuk Biner:
1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)
= 8 + 4 + 2 + 0
= 14

Bentuk umum dari bilangan biner dan bilangan desimal adalah :
Biner
1
1
1
1
1
1
1
1
11111111
Desimal
128
64
32
16
8
4
2
1
255
Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7

Sekarang kita balik lagi ke contoh soal di atas! Darimana kita dapatkan angka desimal 14(10) menjadi angka biner 1110(2)?

Mari kita lihat lagi pada bentuk umumnya!
Biner
0
0
0
0
1
1
1
0
00001110
Desimal
0
0
0
0
8
4
2
0
14
                       Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7




Mari kita telusuri perlahan-lahan!
·        Pertama sekali, kita jumlahkan angka pada desimal sehingga menjadi 14. anda lihat angka-angka yang menghasilkan angka 14 adalah 8, 4, dan 2!
·        Untuk angka-angka yang membentuk angka 14 (lihat angka yang diarsir), diberi tanda biner “1”, selebihnya diberi tanda “0”.
·        Sehingga kalau dibaca dari kanan, angka desimal 14 akan menjadi 00001110 (terkadang dibaca 1110) pada angka biner nya.

Mengubah Angka Biner ke Desimal
Perhatikan contoh!
1. 11001101(2)
Biner
1
1
0
0
1
1
0
1
11001101
Desimal
128
64
0
0
8
4
0
1
205
Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7

Note:
·        Angka desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1)
·        Setiap biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak dihitung, alias “0” juga.

2. 00111100(2)
Biner
0
0
1
1
1
1
0
0
00111100
0
0
0
32
16
8
4
0
0
60
Pangkat
27
26
25
24
23
22
21
20
X1-7

Mengubah Angka Desimal ke Biner
Untuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil memperhatikan sisanya.
Perhatikan contohnya!
1. 205(10)
205   : 2     = 102 sisa 1
102   : 2     = 51 sisa 0
51     : 2     = 25 sisa 1
25     : 2     = 12 sisa 1
12     : 2     = 6    sisa 0
6       : 2     = 3    sisa 0
3       : 2     = 1    sisa 1
à sebagai sisa akhir “1”

Note:
Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(2)

2. 60(10)
60     : 2     = 30 sisa 0
30     : 2     = 15 sisa 0
15     : 2     = 7    sisa 1
7       : 2     = 3    sisa 1
3       : 2     = 1    sisa 1
1   à sebagai sisa akhir “1”
Note:
Dibaca dari bawah menjadi 111100(2) atau lazimnya dituliskan dengan 00111100(2). Ingat bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau 111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100 (ini sudah 8 digit).

Aritmatika Biner
Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.

Penjumlahan Biner
Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan penjumlahan desimal. Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!

   1    à 7 + 5 = 12, tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!
167
235
---- +
402

Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner berikut:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0   à dan menyimpan 1

sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :
1 + 1 + 1 = 1   à dengan menyimpan 1

Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di bawah ini:



1 1111                 à “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas!
01011011           à bilangan biner untuk 91
01001110           à bilangan biner untuk 78
------------ +
10101001           à Jumlah dari 91 + 78 = 169

Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang telah disebutkan di atas!

Contoh penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!
11101          bilangan 1)
10110          bilangan 2)
  1100           bilangan 3)
11011          bilangan 4)
  1001           bilangan 5)
-------- +

untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!

    11101    bilangan 1)
    10110    bilangan 2)
     ------- +
  110011
      1100    bilangan 3)
     ------- +  
  111111   
    11011    bilangan 4)
     ------- +
  011010
      1001    bilangan 5)
     ------- +
1100011     à Jumlah Akhir .

sekarang coba tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang perhitungan di atas sudah benar?

Pengurangan Biner
Pengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan menghasilkan:

73426        à lihat! Angka 7 dan angka 4 dikurangi dengan 1
  9185        à digit desimal pengurang.
--------- -
64241          à Hasil pengurangan akhir .

Bentuk Umum pengurangan :
0 – 0 = 0
1 – 0 = 0
1 – 1 = 0
0 – 1 = 1   à dengan meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya!

Untuk pengurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama. Coba perhatikan bentuk pengurangan berikut:

1111011    à desimal 123
  101001    à desimal   41
--------- -
1010010    à desimal 82

Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”. Perhatikan contoh berikut!

      0              à kolom ke-3 sudah menjadi ‘0’, sudah dipinjam!
111101        à desimal 61
  10010        à desimal 18
 ------------ -
101011        à Hasil pengurangan akhir 43 .

Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!

7999          à hasil pinjaman
800046
397261
--------- -
402705

Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001 – 1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:

1100101
      1010
   ---------- -
  100111







Komplemen
Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:

“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”


Lihat contoh nyatanya!
Bilangan Desimal                 123     651     914
Komplemen Sembilan          876     348     085
Komplemen Sepuluh            877     349     086    à ditambah dengan 1!

Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!
Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!

Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!

893             893                      893
321             678 (komp. 9)        679 (komp. 10)
---- -            ---- +                    ---- +
572           1571                   1572
     1
---- +
 572  à angka 1 dihilangkan!

Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!

Bilangan Biner              110011      101010      011100
Komplemen Satu         001100      010101      100011
Komplemen Dua          001101      010110      100100


Pengurangan biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!

110001                110001                110001
001010                110101                110110
--------- -                --------- +               --------- +
100111                100111            1100111
dihilangkan!

Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!

Sistem Oktal dan Heksa Desimal
Bilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis 16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner!

1. Ubahlah bilangan oktal 63058 menjadi bilangan biner !

6       3       0       5                 à oktal
110   011   000   101             à biner

Note:
·        Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)
·        Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!

2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner !

            heks    à biner
5       à 0101
D       à 1101
9       à 1001
3       à 0011

Note:
·        Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011
·        Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!

3. Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !

001   010   100   001   101             à biner
3       2       4       1       5                 à oktal

Note:
·        Kelompokkan bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!

4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan heks !

0010          1101          0110          1100          1011 à biner
2                 D                6                 C                B       à heks







Tabel Digit Oktal

Digit Oktal
Ekivalens 3-Bit
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111



Tabel Digit Heksadesimal
Digit Desimal
Ekivalens 4-Bit
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
A (10)
1010
B (11)
1011
C (12)
1100
D (13)
1101
E (14)
1110
F (15)
1111


# Artikel diatas saya dapat dari file MS Word yang tidak diketahui sumbernya.

1 Response to "Bilangan Biner"

  1. waduh bingung saya.... pura2 paham matematika saja :D

    ReplyDelete